电磁理论：平面电磁波的传导（一）

Preface

先跳过比较难懂的场的理论部分，看一看比较轻松的电磁波及传播的数学表示。

一般关心电磁波在无源区域（即自由空间）中的传播问题。

前置知识

相量

相量矢量只依赖于空间坐标，而与时间无关。例如以$\cos t$为参考的时谐场可以表示为：

$$\vec E(x, y, z, t) = \Re[\vec E(x, y, z) e^{j \omega t}] \tag{1-1}$$

那么式中$\vec E(x, y, z)$就是电场的矢量相量，它包含方向、振幅以及相位的信息。于是$\vec E(x, y, z, t)$对时间的积分和微分可以表示为：

$$\begin{equation} \begin{split} \int \vec E(x, y, z, t) \mathrm dt &= \frac{\vec E(x, y, z)}{j \omega} \\ \frac{\partial \vec E(x, y, z, t)}{\partial t} &= j \omega \vec E(x, y, z) \end{split} \end{equation} \tag{1-2}$$

事实上，对于时间的高阶微分和积分都可以分别表示为相量对$j \omega$高次方的乘除。

对于电磁波的分析，向量是最基本的工具。

无源波动方程

在自由空间中，由于电流密度$\vec J$和电荷密度$\rho$都为零，于是回想一下Maxwell方程组的自由空间形式:

$$\begin{equation} \begin{split} \nabla \times \vec H &= \frac{\partial \varepsilon \vec E}{\partial t} \\ \nabla \times \vec E &= - \frac{\partial \mu \vec H}{\partial t} \\ \nabla \cdot \mu \vec H &= 0 \\ \nabla \cdot \varepsilon \vec E &= 0 \end{split} \end{equation} \tag{1-3}$$

电磁波的分类

传输过程中的波称为行波；行波在传输过程中收到阻挡产生的反射波，和原有行波叠加形成驻波。入射波和反射波的频率和振幅相同，相位不同，故而叠加形成相干波。

在某些点上，驻波的振幅为零，这样的点称为波节（nodes）；而在另一些点上，驻波一直保持最大峰值，这样的点称为波腹（antinodes）。驻波的能量不能定向传播。

根据等相位面的形状的不同，可以把行波分为TE、TM、TME波。其中，如果等相位面是平面的TEM波，称为平面电磁波，我们主要研究平面电磁波的传播。

均匀平面波的传播

自由空间中的平面波

真空中的无源波动方程为：

$$\nabla^2 \vec E + k^2_0 \vec E = 0 \tag{2-1}$$

其中，$k_0$称为波数，它是波长$\lambda$的倒数：

$$k_0 = \frac {2\pi} \lambda = \frac \omega c = \omega \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0} \text{ rad/m} \tag{2-2}$$

从传输线方程的角度考虑，$k_0$也可以称为传播常数或者相位因子，它也可以使用$\beta$表示。从上式中可以得出自由空间（真空）中波的传播速度，它的含义是等相位面的传播速度，故又称相速(用$u_p$表示)：

$$u_p = c = \frac 1 {\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = 3 \times 10^8 \text{ m/s }\tag{2-3}$$

由$(2-1)$式，我们可以写出$x$方向上的电场分量的亥姆霍兹方程：

$$(\frac {\partial^2} {\partial x^2} + \frac {\partial^2} {\partial y^2} + \frac {\partial^2} {\partial z^2} + k^2_0)E_x = 0 \tag{2-4}$$

但是均匀平面波具有这样的性质：在垂直于$z$的平面上，$E_x$的幅度均匀且相位恒定^[1]。于是可以简化$(2-4)$为：

$$\frac {\partial^2 E_x} {\partial z^2} + k^2_0 E_x = 0 \tag{2-5}$$

这是一个二阶齐次常系数微分方程，容易写出它的解^[2]为：

$$E_x(z) = E^+_x(z) + E^-_x(z) = E^+_0 e^{-j k_0 z} + E^-_0 e^{j k_0 z} \tag{2-6}$$

显然这是一个相量的表达式，其中$E^+_0$和$E^-_0$是由边界条件确定的任意常量（通常是复数）。如果以余弦信号作为参考，假设$E^+_0$是一个实常数，那么：

$$\begin{equation} \begin{split} \widetilde E^+_x(z, t) &= \vec a_x \Re[E^+_x(z) e^{j \omega t}] \\ &= \vec a_x \Re[E^+_0 e^{j (\omega t - k_0 z)}] \\ &= \vec a_x E^+_0 \cos(\omega t - k_0 z) \text{ V/m} \end{split} \end{equation} \tag{2-7}$$

这样就得到了电场的时域表达式。

由$(1-x)$可以求得伴生的磁场$\vec H$：

$$\nabla \times \vec E = \begin{vmatrix} \vec a_x & \vec a_y & \vec a_z \\ 0 & 0 & \frac \partial {\partial z} \\ E^+_x(z) & 0 & 0 \end{vmatrix} = -j \omega \mu_0(\vec a_x H^+_x + \vec a_y H^+_y + \vec a_z H^+_z) \tag{2-8}$$

由均匀平面波的特性可知：

$$\begin{equation} \begin{split} H^+_x &= 0 \\ H^+_y &= \frac 1 {-j \omega \mu_0} \frac {\partial E^+_x(z)}{\partial z} \\ H^+_z &= 0 \end{split} \end{equation} \tag{2-9}$$

将$(2-6)$代入上式，即有：

$$H^+_y(z) = \frac 1 {-j \omega \mu_0} \frac {\partial E^+_x(z)}{\partial z} = \frac 1 {-j \omega \mu_0} \frac \partial {\partial z}(E^+_0 e^{-jk_0z}) = \frac {k_0}{\omega \mu_0} E^+_x(z) \tag{2-10}$$

考虑到$k_0$的表达式，可以引入一个新的物理量，即本征阻抗$\eta_0$：

$$\eta_0 = \frac {k_0}{\omega \mu_0} =\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} \cong 120 \pi \cong 377 \text{ Ohm} \tag{2-11}$$

于是可得磁场的瞬时表达式为：

$$\widetilde H^+_y(z, t) = \vec a_y H^+_y(z, t) = \vec a_y \Re[H^+_y(z) e^{j \omega t}] = \vec a_y \frac{E^+_0}{\eta_0} \cos (\omega t - k_0 z) \text{ A/m} \tag{2-12}$$

自由空间是均匀介质，又称各向同性介质。任何均匀介质中波的传播都满足式$(2-2)$~$(2-12)$，只需知道介质的相对介电常数$\varepsilon_r$和相对磁导率$\mu_r$，并替换掉自由空间中的对应变量即可。

有耗媒质中的平面波

自由空间是无耗媒质。

在有耗媒质中，要求解的齐次亥姆霍兹方程变为：

$$\nabla^2 \vec E + k^2_c \vec E = 0 \tag{2-13}$$

这样求解到的波数$k_c = \omega \sqrt{\mu \varepsilon_c}$是一个复数。为了和传输线理论中的记号一致，定义传播常数$\gamma$：

$$\gamma = j k_c = \alpha + j \beta \tag{2-14}$$

于是，沿$+z$方向传播的线极化波的电场可以表示为：

$$E_x = E_0 e^{-\alpha z}e^{-j \beta z} \tag{2-15}$$

其中$\alpha$是衰减常数，单位是Np/m；$\beta$是相位因子，单位是rad/m。这两个参数和波的频率（角频率）以及媒质的本征参数（$\varepsilon, \mu, \sigma$，即介电常数、磁导率和电导率）相关。

下面介绍两种不同的有耗媒质中波的传播。

低损耗电介质

低损耗电介质定义为良好但不理想的绝缘体，其等效电导率接近零，满足$\sigma / \omega \mu \ll 1$。

良导体

在良导体中，满足$\sigma \gg \omega \mu$。在此种情况下，可以近似认为：

$$\alpha = \beta = \sqrt{\pi f \omega \mu} \tag{2-16}$$

良导体的本征阻抗为：

$$\eta_c = \sqrt{\frac \mu {\varepsilon_c}} \cong \sqrt{\frac {j \omega \mu} \sigma} = (1 + j) \frac \alpha \sigma \tag{2-17}$$

上式中相位角为$\frac \pi 4$，表示磁场强度的相位滞后于电场强度。在良导体中波的相速为：

$$u_p = \frac \omega \beta \cong \sqrt{\frac{2 \omega}{\mu \sigma}} \tag{2-18}$$

而良导体中的平面波的波长表示为：

$$\lambda = \frac {2 \pi} \beta = \frac {u_p} f = 2 \sqrt{\frac \pi {f \mu \sigma}} \tag{2-19}$$

由于在甚高频下，良导体的衰减因子会变得很大。由于衰减因子为$e^{- \alpha z}$，则波在良导体传播距离为$z = \frac 1 \alpha$时，波的振幅将以$e^{-1} \cong 0.368$的因子衰减。定义衰减因子的倒数为趋肤深度：

$$\delta = \frac 1 \alpha = \frac 1 \beta = \frac \lambda {2 \pi} = \frac 1 {\sqrt{\pi f \mu \sigma}} \tag{2-20}$$

平面波的极化

均匀平面波的极化描述了空间中定点上电场强度矢量的时变特性。若电场强度矢量表示为$\vec E = \vec a_x E_x$及其类似形式，则这种平面波被称为沿$x$方向的直线极化。由于$\vec H$的方向和$\vec E$的方向直接相关，故不单独描述磁场的特性。

考虑某点的电场强度矢量由两个相互正交的矢量叠加而来，$E_{i0}$是两个分量的峰值：

$$\vec E(z) = \vec a_x E_{10} e^{-jkz} \mp \vec a_y j E_{20} e^{-jkz} \tag{2-21}$$

考虑到欧拉方程，即$e^{j\omega} = \cos \omega + j \sin \omega$，可以得到电场强度的瞬时表达式：

$$\begin{equation} \begin{split} \vec E(z, t) &= \Re\{[\vec a_x E_{10} e^{-jkz} \mp \vec a_y j E_{20} e^{-jkz}]e^{j \omega t}\} \\ &= \vec a_x E_{10} \cos(\omega t - kz) + \vec a_y E_{20} \cos(\omega t - kz \mp \frac \pi 2) \\ &= \vec a_x E_{10} \cos(\omega t - kz) \pm \vec a_y E_{20} \sin(\omega t - kz) \end{split} \end{equation} \tag{2-22}$$

此时$\vec E$是空间上垂直、时间上相位差$\frac \pi 2$的两个线极化波的和，称为椭圆极化波。

1. 若$E_{10} = E_{20}$，则称为圆极化波；
2. 若$E_y$的相位滞后$E_x$为$90 \degree$，则称为右旋极化，反之称为左旋极化。

左旋极化和右旋极化的判断如下：

观察$(2-21)$，若$\frac {\widetilde E_y(z)} {\widetilde E_x(z)} = -cj, c \in R$，则是右旋极化，如果比值是$cj$，则是左旋极化；若$c = 1$，则是圆极化波，否则是椭圆极化波。观察$(2-22)$，根据三角函数的诱导公式，可得下表：

$E_x(z, t)$	$E_y(z, t)$	极化方向
$\cos \omega t$	$\sin \omega t = \cos (\omega t - \frac \pi 2)$	右旋
$\cos \omega t$	$- \sin \omega t = \cos (\omega t + \frac \pi 2)$	左旋
$\sin \omega t$	$- \cos \omega t = \sin (\omega t - \frac \pi 2)$	右旋
$\sin \omega t$	$\cos \omega t = \sin (\omega t + \frac \pi 2)$	左旋

电磁能流密度

电磁能流密度又称为坡印廷矢量，它的定义为（推导略）：

$$\vec P = \vec E \times \vec H \tag{3-1}$$

它的方向和波的传播方向相同，代表了波在传导过程中携带的功率密度。$\vec P$在封闭曲面上的面积分，等于从这个闭合面所包围的体积散发的功率，这就是坡印廷定理。表示成公式如下：

$$-\oint_S \vec P \cdot \mathrm d \vec s = \frac \partial {\partial t} \int_V (w_e + w_m) \mathrm dv + \int_V p_\sigma \mathrm dv \tag{3-2}$$

坡印廷定理的另一种解释是：坡印廷矢量流入闭合曲面的通量，等于闭合曲面围成体积中的电磁场储能随时间的变化率和损耗的欧姆功率之和。

其中：

• $w_e$表示电场能量密度；

  $$w_e = \frac 1 2 \varepsilon E^2 = \frac 1 2 \varepsilon \vec E \cdot \vec E^* \tag{3-3}$$

• 类似地，$w_m$表示磁场能量密度：

  $$w_m = \frac 1 2 \mu H^2 = \frac 1 2 \mu \vec H \cdot \vec H^* \tag{3-4}$$

• $p_\sigma$表示欧姆功率密度：

  $$p_\sigma = \sigma E^2 = J^2 / \sigma = \sigma \vec E \cdot \vec E^* = \vec J \cdot \vec J^* / \sigma \tag{3-5}$$

特别地，如果关注的区域是无损介质，即$\sigma = 0$，则$p_\sigma = 0$；如果关注的区域内只存在静态场，则电磁场功率密度应为零，即$w_e = w_m = 0$。

如果使用相量表示电磁场，那么坡印廷矢量可以表示为：

$$\widetilde P = \frac 1 2 \widetilde E \times \widetilde H^* \tag{3-6}$$

References

1. Field and Wave Electromagnetics, 2nd Edition, David K. Cheng 清华版译本，何业军、桂启良译

---

1. 均匀平面波的这一性质的更一般化描述为：均匀平面波的场矢量只沿着波传播的方向变化，在垂直于传播方向的无限大平面上，场矢量的方向、振幅乃至初相位都保持不变。 ↩︎

2. 下标$x$意味着场的振动方向是沿$x$轴的，它的传播方向和波的方向一致。磁场下标中的$y$同电场。 ↩︎