电磁理论：Maxwell方程组到底在表达什么？

preface

本文为笔者电磁场复习笔记。

电磁理论是研究物理现象的学科，因此笔者认为，要理解公式蕴含的物理意义，才能更好的理解和使用电磁理论。以下是简单的对Maxwell方程组的理解和总结。

梯度、散度和旋度

首先，任何矢量都存在产生它的源；一个矢量场的源可以用散度（对应闭合曲面积分）或者旋度（对应闭合环路积分）描述。

设矢量场$\vec{F}(x,y,z,t) = \vec i F_x(x,y,z,t) + \vec j F_y(x,y,z,t) + \vec k F_z(x,y,z,t)$，那么它的散度定义为（场的分量必须具有一阶连续偏导数）：

$$\mathrm{div} \vec F = \nabla \cdot \vec F = \frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \tag{0-1}$$

散度意味着如果矢量场流经封闭曲面的净通量不为零的话，则在曲面内存在源点且该源点为流量源。

场的旋度定义为：

$$\mathrm{rot} \vec F = \nabla \times \vec F = \begin{bmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{bmatrix} \tag{0-2}$$

类似地，旋度意味着，如果矢量场流经闭合环路的净环流不为零的话，则该矢量场的源是漩涡源。

设存在标量场$F(x,y,z,t)$，那么它的最大空间变化率，即梯度，可以表示为：

$$\bold{\mathrm{grad}}V = \frac{\partial F}{\partial x} \vec i + \frac{\partial F}{\partial y} \vec j + \frac{\partial F}{\partial z} \vec k \tag{0-3}$$

即在向量$\vec n = (\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z})$方向上，标量场的变化率最大。

两个零恒等式

1. 任意矢量场的旋度的散度为零；

   $$\nabla \cdot (\nabla \times \vec F) \equiv 0 \tag{0-4}$$

2. 任意矢量场的梯度的旋度为零：

   $$\nabla \times (\nabla \vec F) \equiv 0 \tag{0-5}$$

Helmholtz定理

如果一个矢量场的散度和旋度处处都已给定，则此矢量场是确定的，最多附加一个常量。

Guass定理

又称散度定理：矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭曲面流出的净通量。

$$\int_V \nabla \cdot \vec F \mathrm d v = \oint_s \vec A \cdot \mathrm d \vec S \tag{0-6}$$

Strokes定理

矢量场的旋度在一开放曲面上的面积分等于该矢量沿曲面闭合边界的线积分。

$$\oint_c \vec F \cdot \mathrm d \vec l = \int_s (\nabla \times \vec F) \cdot \mathrm d \vec S \tag{0-7}$$

Maxwell方程组的物理意义

“电生磁”

$$\oint_c \vec H \cdot \mathrm d \vec l = \int_s \vec J \cdot \mathrm d \vec S + \int_s \frac{\partial \vec D}{\partial t} \cdot \mathrm d \vec S \tag{1-1}$$

这个方程表示磁场的变化是由电流密度和电场的变化（位移电流）引起的。引入本构关系$\vec D = \varepsilon \vec E$，此方程可以进一步直观的表示为：

$$\oint_c \vec H \cdot \mathrm d \vec l = \int_s \vec J \cdot \mathrm d \vec S + \varepsilon \int_s \frac{\partial \vec E}{\partial t} \cdot \mathrm d \vec S \tag{1-2}$$

其中$\varepsilon$是介电常数，只和电介质的材料相关，在真空中，真空介电常数$\varepsilon_0 = \frac{1}{36\pi} \times 10^{-9}\mathrm{F/m}$；为方便起见，定义相对介电常数$\varepsilon_r = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}$。

根据散度、旋度的关系，可以给出此方程的微分形式：

$$\nabla \times \vec B = \nabla \cdot \vec J + \nabla \cdot \frac{\partial \vec D}{\partial t} = \nabla \cdot \vec J + \nabla \cdot \frac{\partial \varepsilon \vec E}{\partial t} \tag{1-3}$$

“磁生电”

即法拉第电磁感应定律，它可以表示为：

$$\oint_c \vec E \cdot \mathrm d \vec l = - \int_s \frac{\partial \vec B}{\partial t} \cdot \mathrm d \vec S = - \int_s \mu \frac{\partial \vec H}{\partial t} \cdot \mathrm d \vec S\tag{2-1}$$

这个方程表示了电场的源来自于磁场的变化，磁通量的变化转换为电场的环流。其中本构关系为$\vec H = \mu \vec B$。其中$\mu$称为磁导率，它只和介质的材料有关，真空磁导率$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{H/m}$。类比相对介电常数，也有相对磁导率的定义：

$$\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0} \tag{2-2}$$

自然也可以写出它的微分形式：

$$\nabla \times \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t} = - \frac{\partial \mu \vec H}{\partial t} \tag{2-3}$$

“自由电荷是流量源”

$$\oint_s \vec D \cdot \mathrm d \vec S = \int_V \rho \mathrm d V \tag{3-1}$$

从数学意义上，电场流经封闭曲面的净通量等于该曲面围成的立体空间中自由电荷的体积分，$\rho$为单位体积存在的电荷量，即电荷（体）密度；从物理意义上，电场的源（散度对应的源）来自于自由电荷。它的微分形式也不难写出：

$$\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\varepsilon} \tag{3-2}$$

结合方程$(2-1)$，不难看出，时变磁场和自由电荷都是电场的源量。由恒等式$(0-4)$可知，仅由自由电荷产生的电场是无旋场。

“磁场是无散场”

$$\oint_s \vec B \cdot \mathrm d \vec S = 0 \tag{4-1}$$

从数学意义上，磁场穿过任意封闭曲面的通量均为零，这意味着磁场不具有漩涡源，即磁场是无散场。这一点从该方程的微分形式可以看得更加直观：

$$\nabla \cdot \vec B = 0 \tag{4-2}$$

不同条件下的变形

在不同的场景下，由于源量会有不同的变化，进而衍生了Maxwell方程组的不同形式。

自由空间

显然，在自由空间中，不存在自由电荷以及电流，所以$\rho = 0$，$\vec J = \bold 0$。

于是Maxwell方程组的积分形式变为：

$$\begin{cases} \oint_c \vec H \cdot \mathrm d \vec l = \int_s \frac{\partial \varepsilon \vec E}{\partial t} \cdot \mathrm d \vec S \\ \oint_c \vec E \cdot \mathrm d \vec l = - \int_s \frac{\partial \mu \vec H}{\partial t} \cdot \mathrm d \vec S \\ \oint_s \mu \vec H \cdot \mathrm d \vec S = 0 \\ \oint_s \varepsilon \vec E \cdot \mathrm d \vec S = 0 \end{cases} \tag {5-1}$$

相应的微分形式：

$$\begin{cases} \nabla \times \vec H = \frac{\partial \varepsilon \vec E}{\partial t} \\ \nabla \times \vec E = - \frac{\partial \mu \vec H}{\partial t} \\ \nabla \cdot \mu \vec H = 0 \\ \nabla \cdot \varepsilon \vec E = 0 \end{cases} \tag{5-2}$$

静态场

显然，此时$\frac{\partial \varepsilon \vec E}{\partial t} = \frac{\partial \mu \vec H}{\partial t} = 0$，带入Maxwell方程组的原始形式中，有：

$$\begin{cases} \oint_c \vec H \cdot \mathrm d \vec l = \int_s \vec J \cdot \mathrm d \vec S \\ \oint_c \vec E \cdot \mathrm d \vec l = 0 \\ \oint_s \mu \vec H \cdot \mathrm d \vec S = 0 \\ \oint_s \varepsilon \vec E \cdot \mathrm d \vec S = \int_V \rho \mathrm d V \end{cases} \tag {5-3}$$

$$\begin{cases} \nabla \times \vec H = \vec J \\ \nabla \times \vec E = 0 \\ \nabla \cdot \mu \vec H = 0 \\ \nabla \cdot \varepsilon \vec E = \rho \end{cases} \tag{5-4}$$

四个基本物理量的含义和关联

粗略的说，每种场对应的两个参数，分别描述了场的能力（对场内其他带电、带磁物体的影响能力）和源的特性（源量自身的性质）。一般在实际观测中，场的能力是容易被观测到的，而源一般是未知的。

注：后续的$\vec a$指源点指向观测点的单位矢量。

电场强度和电通密度

电场强度的表示如下:

$$\vec E = \frac{q}{4 \pi \varepsilon R^2} \vec a \tag{6-1}$$

即场的能力，与观测点和源的距离、电介质的材料以及源量的大小均相关。

电通密度的定义如下：

$$\vec D = \varepsilon \vec E = \frac{q}{4 \pi R^2} \vec a \tag{6-2}$$

如果对电通密度所在的封闭曲面内求通量，则可得公式$(3-1)$。所以这个量描述的是静电场的源的特性，它与观测点的位置、观测空间的介质性质都无关。

电通密度和距离也是呈平方反比的关系，考虑一个点电荷的电场，距离源点越远，那么在电荷量恒定的情况下，穿出单位面积的电通量越少，电通密度也就越低。

磁感应强度与磁场强度

首先，要明确一个问题，由于历史原因，描述磁场源的特性的物理量$\vec H$，被命名为磁场强度，而真正的“磁场强度”，却阴差阳错成为了磁感应强度。

磁场强度的定义是：

$$\vec H = \frac {\vec B}{\mu} \tag{6-3}$$

类比电通密度，对其进行积分可以得到公式$(1-1)$。在静磁场中，它描述的是作为场源的电流的特性。

磁感应强度定义^[1]为：

$$\vec B = \frac{\mu}{4 \pi} \oint_c \frac{I \mathrm d \vec l \times \vec a}{R^2} \tag{6-4}$$

它直观反映了空间中某点的磁场的强度以及方向（矢量分析时一定不能忘记方向问题）。

Summary

理解物理过程的时候，笔者认为要结合公式并带入实际情景，要理解从实际情景中抽象出的理想模型到底是在关注什么。在分析电磁场问题时，可能一共只有这么几个需要关注的点：

1. 场源，场源的特性会影响场的强度；
2. 观测点和观测空间，即观测点和源点的位置关系，观测空间的材质（主要反映为相对介电常数以及相对磁导率）；
3. 计算，根据需要列方程求解，要使用一些方法尽量简化计算，例如合适的坐标系，镜像法或者边界条件等；
4. 场中受影响的对象，根据对象的特点进行相应求解。

References

1. 如何学好电磁场这门课？ - WaveView的回答 - 知乎

2. Field and Wave Electromagnetics, 2nd Edition, David K. Cheng 清华版译本，何业军、桂启良译

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1. 即毕奥-萨伐尔定律，用于求解闭合路径C上电流产生的磁感应强度 ↩︎