电磁理论：数学工具篇（三）

Preface

积分是电磁理论中最常用的工具，没有之一。

定积分

定积分的精确定义

在区间 $[a, b]$ 上，如果函数 $f(x)$ 只有有限个第一类间断点，那么该函数在此区间上可积，或者说这个函数具有原函数。 $f(x)$ 在该区间上的积分定义为：

\int^b_a f(x) \mathrm dx = \lim_{n \to \infty} \frac 1 n \sum^n_{i = 0} f(a + \frac{b - a}{n} i) \tag{1-1}

它的几何意义是 $f(x)$ 在区间上围成的曲边梯形的面积——把区间 $[a, b]$ 平均分为 $n$ 份，当 $n$ 足够大的时候，每一个小的曲边梯形就可以认为是矩形，即有 $\mathrm dS = f(x) \mathrm dx$ ，所有小曲边梯形的面积和就是函数的定积分。这也是微元法的一个典型应用。

定积分的基本计算

第一类换元积分法

\int f[ g(x) ] g'(x) \mathrm dx = \int f[ g(x) ] \mathrm d g(x) = \int f(u) \mathrm du \tag{1-2}

第二类换元积分法

\int f(x) \mathrm dx \xlongequal{x = g(u)} \int f[ g(x) ] \mathrm d g(u) = \int f[ g(u) ] g'(u) \mathrm du \tag{1-3}

分部积分法

\int u(x) \mathrm d v(x) = u(x)v(x) - \int v(x) \mathrm d u(x) \tag{1-4}

定积分计算的技巧

除了基本积分方法和基本积分公式之外，还有一些额外的小技巧。

点火公式

用于计算 $f(x) = \sin^n x$ 或者 $f(x) = \cos^n x$ 的积分。

在区间 $(0, \frac \pi 2)$ 上，如果 $n \gt 1$ ，那么就满足：
$\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin^n x \mathrm dx = \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \cos^n x \mathrm dx = \begin{cases} \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 3}{n - 2} \cdot \dots \cdot \frac 2 3 \cdot 1, \text{if } n \bmod 2 = 1 \\ \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 3}{n - 2} \cdot \dots \cdot \frac 1 2 \cdot \frac{\pi}{2}, \text{if } n \bmod 2 = 0 \end{cases} \tag{1-5}$
在区间 $(0, \pi)$ 上，如果 $n \gt 1$ ，那么就满足：
$\begin{cases} \int^\pi_0 \sin^n x \mathrm dx = 2 \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin^n x \mathrm dx \\ \int^\pi_0 \cos^n x \mathrm dx = \begin{cases} 0, & \text{if } n \bmod 2 = 1 \\ 2 \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \cos^n x \mathrm dx, & \text{if } n \bmod 2 = 0 \end{cases} \end{cases}\tag{1-6}$
在区间 $[0, 2\pi]$ 上，如果如果 $n \gt 1$ ，那么就满足:
$\begin{equation} \begin{split} \int^{2\pi}_{0} \sin^n x \mathrm dx &= \int^{2\pi}_{0} \cos^n x \mathrm dx \\ &= \begin{cases} 0, & \text{if } n \bmod 2 = 1 \\ 4 \cdot \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{n - 3}{n - 2} \cdot \dots \cdot \frac 1 2 \cdot \frac{\pi}{2}, & \text{if } n \bmod 2 = 0 \end{cases} \end{split} \end{equation} \tag{1-7}$
区间再现公式

$\int^b_a f(x) \mathrm dx = \int^b_a f(a + b - x) \mathrm dx \tag{1-8}$

适用场景：
- 被积函数在区间内对称，例如关于三角函数的初等函数；
- $f(x) + f(a + b - x)$ 的形式较为简单。
其他的区间化简公式

对称区间的化简：
$\begin{equation} \begin{split} \int^l_{-l} f(x) \mathrm dx &= \int^l_0 [f(x) + f(-x)] \mathrm dx \\ &= \begin{cases} 0, & \text{if } f(-x) = -f(x) \\ 2 \int^l_0 f(x) \mathrm dx, & \text{if } f(-x) = f(x) \end{cases}, l > 0 \end{split} \end{equation} \tag{1-9}$
适用于奇偶函数的情况；

区间归一化的两种形式：
$\begin{equation} \begin{split} \int^b_a f(x) \mathrm dx &= \int^1_0 (b - a)f[a + (b - a)t] \mathrm dt \\ &= \int^{\frac \pi 2}_{- \frac \pi 2} f(\frac{a + b}{2} + \frac{b - a}{2} \sin t) \cdot \frac{b - a}{2} \cos t \mathrm dt \end{split} \end{equation}\tag{1-10}$
适用于被积函数中含有 $\frac{1}{\sqrt{(x - a)(x - b)}}$ 或者 $\sqrt{(x - a)(x - b)}$ 等类似形式的情况。

定积分的性质

这些性质对二重积分和三重积分同样适用。

假设区间 $[a, b]$ 上， $f(x)$ 可积，则有：

测度性质

区间上对 $f(x) \equiv1$ 的积分等于区间的长度，这代表了积分区间的测度。这也同样适用于二重积分及三重积分，它们对应的积分区域测度分别是积分区域的面积和体积。
$\int^b_a \mathrm dx = b - a = L \tag{1-11}$
线性性质
$\int^b_a [k_1 f_1(x) \pm k_2 f_2(x)] \mathrm dx = \int^b_a k_1 f_1(x) \mathrm dx \pm \int^b_a k_2 f_2(x) \mathrm dx \tag{1-12}$
区间可拆性

$\forall c \in \mathrm R$ ，则有：
$\int^b_a f(x) \mathrm dx = \int^c_a f(x) \mathrm dx + \int^b_c f(x) \mathrm dx \tag{1-13}$
保号性

若在区间 $[a, b]$ 上，总是有 $f(x) \le g(x)$ ，则：
$\int^b_a f(x) \mathrm dx \le \int^b_a g(x) \mathrm dx \tag{1-14}$
特别地，另有：
$\vert \int^b_a f(x) \mathrm dx \vert \le \int^b_a \vert f(x) \vert \mathrm dx \tag{1-15}$
估值定理

参考函数的估值定理，若 $m \le f(x) \le M$ ，则：
$m(b - a) \le \int^b_a f(x) \mathrm dx \le M(b - a) \tag{1-16}$
中值定理

$\exist \xi \in (a, b)$ （ $\xi$ 也可以取到区间端点），使得下式成立：
$\int^b_a f(x) \mathrm dx = f(\xi) (b-a) \tag{1-17}$
对称性

见公式 $(1-9)$ 。

二重积分

二重积分的基本计算思路是化为两个嵌套的定积分，当被积函数为 $f(x, y) = h(x)g(y)$ 的形式时，二重积分可以化为两个定积分的乘积：

\iint_D f(x, y) \mathrm d \sigma = \int^{x_2}_{x_1} h(x) \mathrm dx \int^{y_2}_{y_1} g(y) \mathrm dy \tag{2-1}

一般计算时，可以参考以下口诀：

后积先定限，限内划条线。先交写下限，后交写上限。

在实际解决问题时，和定积分一样，先化简被积函数，然后考虑是否需要交换积分次序：

当被积函数无法写出初等函数形式的原函数时；
另一个积分限的更简单时。

在被积函数含有 $x^2 + y^2$ 或者 $\frac x y$ 等类似元素或者积分区域是圆或者圆的一部分时，优先考虑化为极坐标系计算：

\iint_D f(x, y) \mathrm d \sigma = \iint_D rf(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm dr \mathrm d \theta \tag{2-2}

类似定积分，二重积分也有诸多性质且形式相似。但是二重积分的对称性分为轮换对称性和普通对称性。

普通对称性

假设积分区域关于 $y$ 轴对称，取区域 $D_1$ 为 $x > 0$ 的部分。对于积分区域上任意一点 $(x, y)$ ，它关于 $y$ 轴的对称点为 $(-x, y)$ ，那么二重积分应该满足：

\iint_D f(x, y) \mathrm d \sigma = \begin{cases} 0, & \text{if } -f(x, y) = f(-x, y) \\ 2 \iint_{D_1} f(x, y) \mathrm d \sigma, & \text{if } f(x, y) = f(-x, y) \end{cases} \tag{2-2}

这就是二重积分的"偶倍奇零"性质，若积分区域关于 $x$ 轴对称，那么对于 $f(x, y) = \pm f(x, -y)$ 时，有相同的性质。

轮换对称性

对于积分区域，如果满足 $D_{xy} = D_{yx}$ ，即交换 $xy$ 坐标后积分区域不变，那么有：

\iint_D f(x, y) \mathrm d \sigma = \iint_D f(y, x) \mathrm d \sigma \tag{2-3}

该性质仅适用于直角系中。

三重积分

三重积分的计算类似于二重积分，首先拆分为二重积分和定积分的乘积，然后进行计算。

当积分区域 $\Omega$ 无侧面，或者侧面为柱面时，可以考虑“先一后二法”，设上下曲面分别为 $z_1 = z_1(x, y)$ 和 $z_2 = z_2(x, y)$ ，此时三重积分可以写作：

\iiint_\Omega f(x, y, z) \mathrm dv = \iint_{D_{xy}} \mathrm d \sigma \int^{z_2(x, y)}_{z_1(x, y)} f(x, y, z) \mathrm dz \tag{3-1}

其中 $D_{xy}$ 时 $\Omega$ 在 $xOy$ 平面上的投影。

当积分区域 $\Omega$ 为旋转体时，即上下底面平行，侧面方程为 $z = z(x, y)$ 时，考虑“先二后一法”，三重积分可以写作：

\iiint_\Omega f(x, y, z) \mathrm dv = \int^b_a \mathrm dz \iint_{D_z} f(x, y, z) \mathrm d \sigma \tag{3-2}

三重积分还可以借助圆柱坐标系和球坐标系进一步简化积分。在“先一后二法”中，如果投影面可以使用极坐标简化计算的话，可以进一步把积分写作：

\iiint_\Omega f(x, y, z) \mathrm dv = \iiint_\Omega f(r \cos \theta, r \sin \theta, z)r \mathrm dr \mathrm d \theta \mathrm dz \tag{3-3}

如果被积函数中含有 $x^2 + y^2 + z^2$ ， $x^2 + y^2$ ，或者积分区域为球体或者锥体的一部分时，可以考虑转换为球坐标系计算。球坐标的导出见电磁理论：数学工具篇（一）。此时三重积分就变为：

\iiint_\Omega f(x, y, z) \mathrm dv = \iiint_\Omega f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r^2 \sin \varphi \mathrm dr \mathrm d \varphi \mathrm d \theta \tag{3-4}

三重积分的普通对称性和轮换对称性可以参考二重积分。

第一类曲线曲面积分

第一类曲线积分

又称为对弧长的曲线积分，它的微元 $\mathrm ds$ 。根据积分曲线 $\Gamma$ 不同的表示方法，曲线积分的计算也有不同的形式。

假设空间中曲线表示为 $\Gamma: \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}(\alpha \le t \le \beta)$ ，那么空间中第一类曲线积分可以表示为：

\int_\Gamma f(x, y, z) \mathrm ds = \int^\beta_\alpha f[x(t), y(t), z(t)] \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 + [z'(t)]^2} \mathrm dt \tag{4-1}

平面上由参数方程表示的曲线与此情形相似，不再列举。若平面曲线 $L: y = y(x)$ 及 $L: r = r(\theta)$ ，第一类曲线积分可以写作：

\begin{equation} \begin{split} \int_L f(x, y) \mathrm ds &= \int^b_a f(x, y) \sqrt{1 + [y'(x)]^2} \mathrm dx \\ &= \int^\beta_\alpha f(r \cos \theta, r \sin \theta) \sqrt{r^2(\theta) + [r'(\theta)]^2} \mathrm d \theta \end{split} \end{equation} \tag{4-2}

第一类曲线积分的性质和三重积分类似，计算时，可以考虑将边界方程带入被积函数、对称性以及逆向应用形心公式来简化问题。

第一类曲面积分

设空间曲面 $\Sigma: z = z(x, y)$ ，那么第一类曲面积分的计算可以分为以下几个步骤：

把 $\Sigma$ 投影到某一坐标平面上，例如 $xOy$ 平面，得到投影区域 $D_{xy}$ ；
把 $\Sigma$ 的方程代入到被积函数中；
计算 $z'_x, z'_y$ ，于是面积微元 $\mathrm dS = \sqrt{1 + (z'_x)^2 + (z'_y)^2} \mathrm dx \mathrm dy$ ；

然后曲面积分就转换为了二重积分：

\iint_\Sigma f(x, y, z) \mathrm dS = \iint_{D_{xy}} f[x, y, z(x, y)] \sqrt{1 + (z'_x)^2 + (z'_y)^2} \mathrm dx \mathrm dy \tag{4-3}

在进行投影的过程中需要注意任何 $\Sigma$ 上的两点的投影不得重合，否则应该更换投影面或者分拆原曲面。

第二类曲面积分的性质类似三重积分，这里不再进行列举。简化计算的方法也同第一类曲线积分。

形心、质心、转动惯量以及引力

二重积分、三重积分以及第一类曲线曲面积分的形心、质心、转动惯量以及引力拥有类似的形式，这里不妨设积分区域为 $\Omega$ 。

形心和质心

设积分区域的平均密度为 $\rho$ ，那么积分区域的质心坐标表示为：

\bar x = \frac{\int_\Omega x \rho \mathrm d \omega}{\int_\Omega \rho \mathrm d \omega} \tag{5-1}

质心其余两个坐标的计算同上，只需替换为对应的坐标即可。如果 $\rho = C$ ，那么质心坐标就是形心坐标。

如果积分区域时规则的几何体，很容易得到其形心坐标，那么通过逆用形心公式就可以很快求出分子中复杂的积分。

转动惯量

在 $x$ 轴方向上的转动惯量表示为：

I_x = \int_\Omega (y^2 + z^2) \rho(x, y, z) \mathrm dv \tag{5-2}

可见，“求谁缺谁”，这个规律也适用于二维平面的情况。

坐标原点上的转动惯量是所有坐标轴上转动惯量的矢量和：

I_O = \int_\Omega (x^2 + y^2 + z^2) \rho(x, y, z) \mathrm dv \tag{5-3}

第二类曲线曲面积分

第二类曲线积分没有几何意义，只有物理意义。因此很多性质都失效了。

第二类曲线积分

第二类曲线积分表征的是变力沿曲线做功的情况。因此其积分区域是一条有向曲线。计算时除了要将原积分转换为定积分或重积分外，还要注意方向。

二维平面下的对坐标曲线积分

假设有向曲线 $L: \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} (t: \alpha \to \beta)$ ，那么积分可以化为：

\int_L P(x, y) \mathrm dx + Q(x, y) \mathrm dy = \int^\beta_\alpha \lbrace P[x(t), y(t)] x'(t) + Q[x(t), y(t)] y'(t) \rbrace \mathrm dt \tag{6-1}

除此之外，若曲线 $L$ 满足以下条件，还可以使用格林公式进行计算。

$L$ 是封闭的光滑曲线，取正向（逆时针方向）；
$P(x, y), Q(x, y)$ 在 $L$ 围成的封闭区域 $D$ 上一阶偏导连续；

那么原积分可以表示为：

\int_L P(x, y) \mathrm dx + Q(x, y) \mathrm dy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) \mathrm d \sigma \tag{6-2}

在满足格林公式条件的情况下，若积分与路径无关，则以下几个条件等价：

$P \mathrm dx + Q \mathrm dy$ 是某二元函数 $u = u(x, y)$ 的全微分；
$P \mathrm dx + Q \mathrm dy = 0$ 是全微分方程；
$P \vec i + Q \vec j$ 是某二元函数 $u = u(x, y)$ 的梯度；
区域D内任意光滑闭曲线上， $\oint_L P \mathrm dx + Q \mathrm dy = 0$ ；
$\frac{\partial P}{\partial y} \equiv \frac{\partial Q}{\partial x}$ 。

三维空间中的对坐标曲线积分

若积分曲线由参数方程表示，则参考式 $(6-1)$ ，转化为定积分计算。否则 $\int_L P \mathrm dx + Q \mathrm dy + R \mathrm dz$ ，只能使用Strokes公式进行计算：

\begin{equation} \begin{split} \oiint_L P \mathrm dx + Q \mathrm dy + R \mathrm dz &= \iint_\Sigma \begin{vmatrix} \mathrm dy \mathrm dz &\mathrm dz \mathrm dx & \mathrm dx \mathrm dy \\ \frac \partial {\partial x} & \frac \partial {\partial y} & \frac \partial {\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \\ &=\iint_\Sigma \begin{vmatrix} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac \partial {\partial x} & \frac \partial {\partial y} & \frac \partial {\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \mathrm dS \end{split} \end{equation} \tag{6-3}

利用Strokes公式，可以将空间中第二型曲线积分转换为第一类曲面积分或者第二类曲面积分。其中 $\Sigma$ 是绷在封闭曲线 $L$ 上的任意曲面；如果需要转换为第一类曲面积分，那么要求 $\Sigma$ 是一个平面， $\vec n = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 是平面的单位法向量。