Preface

空间几何主要是空间中曲线、曲面、空间的位置关系的表达与计算，为下一篇积分的计算做铺垫。

空间中的曲面

平面

平面是曲面的一个特例。

空间中任何一个平面都可以使用三元一次方程表示：

π:Ax+By+Cz+D=0(1-1)\pi: A x + B y + C z + D = 0 \tag{1-1}

其中，称向量n⃗=(A,B,C)\vec n = (A, B, C)是平面的法向量，总有n⃗⊥π\vec n \perp \pi。类似于平面直线的点斜式，可以写出空间方程的点法式方程：

π:A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0(1-2)\pi: A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \tag{1-2}

若令(1−1)(1-1)中x,y,zx, y, z任意两个未知数为零，则可以得到空间平面的截距式方程：

π:xa+yb+zc=1(1-3)\pi: \frac x a + \frac y b + \frac z c = 1 \tag{1-3}

根据“不共线的三点共面”的原理，平面也可以表示为三点式：

π:∣x−x1y−y1z−z1x−x2y−y2z−z2x−x3y−y3z−z3∣=1(1-4)\pi: \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\ x - x_3 & y - y_3 & z - z_3 \\ \end{vmatrix} = 1 \tag{1-4}

常见的曲面及其表达式

空间曲面的表达式一般为F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0。一般着重研究二次曲面，即三个坐标的最高幂次为二次的曲面。

常见的二次曲面主要有：

  1. 椭球面

    x2a2+y2b2+z2c2=1(1-5)\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \tag{1-5}

    该方程满足：

    • abc≠0abc \neq 0；
    • a=b=c≠0a = b = c \neq 0时，该曲面时一个球面；
    • 该曲面在三个坐标轴上的截距分别为±a,±b±c\pm a, \pm b \pm c。

  2. 单叶双曲面

    x2a2+y2b2−z2c2=1(1-6)\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \tag{1-6}

    可以视为双曲线x2a2−z2c2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1绕zz轴（虚轴）旋转一周形成的曲面。

  3. 双叶双曲面

    x2a2−y2b2−z2c2=1(1-7)\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \tag{1-7}

    可以视为双曲线x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1绕yy轴（实轴）旋转一周形成的曲面。

  4. 椭圆锥面

    x2a2+y2b2−z2c2=0(1-8)\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \tag{1-8}

  5. 椭圆抛物面

    x22p+y22q=z,p>0,q>0(1-9)\frac{x^2}{2p} + \frac{y^2}{2q} = z, p \gt 0, q \gt 0 \tag{1-9}

如果令α=(xyz)\alpha = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}，则二次型可以表示为f(x,y,z)=αTAαf(x, y, z) = \alpha^T A \alpha。结合上面的表达式，可以看出曲线(1−5)(1-5)至(1−8)(1-8)都满足二次型的特征[1], 其中只有封闭曲面的方程是正定二次型。

除了二次曲面之外，当曲面方程缺失一项时，形成柱面。常见的柱面主要有椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面。

空间中的曲线

曲线是由两个曲面相交形成的。

Γ:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(2-1)\Gamma : \begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases} \tag{2-1}

曲线也可以使用参数方程表示：

Γ:{x=φ(t)y=ψ(t)z=ω(t),α<t<β(2-2)\Gamma: \begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \\ z = \omega(t) \end{cases}, \alpha \lt t \lt \beta \tag{2-2}

直线

直线是曲线的一个特例。

在任何时候，直线都可以看作是两个平面相交得来的，因此直线的一般式方程可以表示为：

l:{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0(2-3)l: \begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 \end{cases} \tag{2-3}

在直角坐标系中，直线的方程由其方向向量和直线上一点的坐标共同确定，这种方程称为点向式。不妨设直线的方向向量为τ⃗=(l,m,n)\vec \tau = (l, m, n)，直线上一点的坐标为P(x0,y0,z0)P (x_0, y_0, z_0)，那么点向式可以表示为：

l:x−x0l=y−y0m=z−z0n(2-4)l: \frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n} \tag{2-4}

直线的参数方程是一组一次方程：

l:{x=lt+x0y=mt+y0z=nt+z0,α<t<β(2-5)l: \begin{cases} x = l t + x_0 \\ y = m t + y_0 \\ z = n t + z_0 \end{cases}, \alpha \lt t \lt \beta \tag{2-5}

又因为两点确定一直线，那么直线的两点式可以写作：

l:x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1(2-6)l : \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1} \tag{2-6}

经过仔细观察可以看出，参数方程和两点式都是直接由点向式推导得出。下面简单介绍一下一般式到点向式的转换过程。

一般式转换为点向式

从空间关系上，构成直线一般式的两个平面方程的法向量和直线的方向向量垂直，即直线的方向向量是两个平面的法向量的外积：

τ⃗=(A1,B1,C1)×(A2,B2,C2)(2-7)\vec \tau = (A_1, B_1, C_1) \times (A_2, B_2, C_2) \tag{2-7}

将式(2−3)(2-3)作为非齐次线性方程组Aα=bA \alpha = b求解，显然此方程组满足r(A)=r(A∣b)=2<3r(A) = r(A | b) = 2 < 3，有无穷多解。解出直线上一点，和τ⃗\vec \tau代入式(2−3)(2-3)即可把一般式转换为点向式。

曲线的投影

以投影到xOyxOy平面为例，通过对(2−1)(2-1)式进行变换，得到φ(x,y)=0\varphi(x, y) = 0，则曲线Γ\Gamma在xOyxOy平面上的投影就包含在曲线{φ(x,y)=0z=0\begin{cases}\varphi(x, y) = 0 \\ z = 0 \end{cases}中。

空间中的位置关系及其运算

设曲面（曲线）上某点的坐标为P0(x0,y0,z0)P_0 (x_0, y_0, z_0)。

曲面上某点的法线及切平面

设曲面方程Σ:F(x,y,z)=0,P0∈Σ\Sigma: F(x, y, z) = 0, P_0 \in \Sigma。在该点处，切平面的法向量，或者说法线的方向向量应为：

n⃗=(Fx′,Fy′,Fz′)∣P0(3-1)\vec n = (F'_x, F'_y, F'_z) |_{P_0} \tag{3-1}

将n⃗\vec n和点P0P_0代入(2−4)(2-4)即得曲面上该点的法线方程，代入(1−2)(1-2)即得曲面上该点的切平面方程。

曲线上某点的切线及法平面

设P0∈ΓP_0 \in \Gamma。

若曲线方程是参数方程，即Γ:{x=φ(t)y=ψ(t)z=ω(t),α<t<β\Gamma: \begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \\ z = \omega(t) \end{cases}, \alpha \lt t \lt \beta，并设P0P_0对应的参数为t=t0t = t_0，那么该点的切线的方向向量，或者说法平面的法向量就是:

n⃗=(φ′(t),ψ′(t),ω′(t))∣t=t0(3-2)\vec n = (\varphi'(t), \psi'(t), \omega'(t)) |_{t = t_0} \tag{3-2}

同理代入(2−4)(2-4)可得切线方程，代入(1−2)(1-2)可得法平面方程。

若曲线使用交面式，即(2−1)(2-1)的形式，则情形稍微复杂一些，但是基本思路不变。在这种情形下，所求的向量变为：

n⃗=(∣Fy′Fz′Gy′Gz′∣P0,∣Fz′Fx′Gz′Gx′∣P0,∣Fx′Fy′Gx′Gy′∣P0)(3-3)\vec n = ( \begin{vmatrix} F'_y & F'_z \\ G'_y & G'_z \end{vmatrix}_{P_0}, \begin{vmatrix} F'_z & F'_x \\ G'_z & G'_x \end{vmatrix}_{P_0}, \begin{vmatrix} F'_x & F'_y \\ G'_x & G'_y \end{vmatrix}_{P_0} ) \tag{3-3}

点、直线、平面之间的位置关系

设定点P0(x0,y0,z0)P_0 (x_0, y_0, z_0)，直线ll的方向向量为τ⃗\vec \tau，平面π\pi的法向量为n⃗\vec n。

两点之间的距离公式为:

d=(x1−x2)2+(y1−y2)2+(z1−z2)2(3-4)d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2} \tag{3-4}

点到平面的距离为：

d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2(3-5)d = \frac {|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \tag{3-5}

取P1∈lP_1 \in l，那么点到直线的距离为：

d=∣τ⃗×P0P1→∣∣τ⃗∣(3-6)d = \frac{|\vec \tau \times \overrightarrow{P_0 P_1}|}{|\vec \tau|} \tag{3-6}

两直线之间的位置关系，设τ⃗1,τ⃗2\vec \tau_1, \vec \tau_2是两条直线的方向向量。

若直线平行，则有τ⃗1=kτ⃗2,k≠0\vec \tau_1 = k \vec \tau_2, k \neq 0。取点P0∈l1,P1∈l1P_0 \in l_1, P_1 \in l_1此时两直线之间的距离为：

d=∣P0P1→×τ⃗1∣∣τ⃗1∣(3-7)d = \frac{|\overrightarrow{P_0 P_1} \times \vec \tau_1|}{|\vec \tau_1|} \tag{3-7}

若直线垂直，则τ⃗1⋅τ⃗2=0\vec \tau_1 \cdot \vec \tau_2 = 0。

两平面平行或者垂直时，法向量的关系类似两直线的方向向量之间的关系。当平面平行时，它们之间的距离为：

d=∣D1−D2∣A2+B2+C2(3-8)d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \tag{3-8}

方向导数的计算

设三元函数u=u(x,y,z)u = u(x, y, z), 在曲线上任一点P0P_0沿向量l⃗\vec l的方向导数为：

∂u∂l⃗=ux′(P0)cos⁡α+uy′(P0)cos⁡β+uz′(P0)cos⁡γ(3-9)\frac{\partial u}{\partial \vec l} = u'_x(P_0) \cos \alpha + u'_y(P_0) \cos \beta + u'_z(P_0) \cos \gamma \tag{3-9}

其中，方向余弦(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)=l⃗∣l⃗∣(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) = \frac{\vec l}{|\vec l|}。

Reference

  1. 《高等数学（下）》，同济大学 第七版
  2. 《工程数学 线性代数》，同济大学 第六版
  3. Field and Wave Electromagnetics, 2nd Edition, David K. Cheng 清华版译本，何业军、桂启良译

  1. 带有常数的二次型可以化成标准二次型，此处不证。 ↩︎