电磁理论：数学工具篇（一）

Preface

本文是笔者的电磁场复习笔记，数学工具篇。

注意：考虑问题时，不要局限在实数域，而应扩展到复数域！

求解时变电磁场问题的基本思路

基本例子：振子方程

考虑一个基本的振子方程，它可以很简单的由胡克定律推导得到：

$$m \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm d t^2} = -kx \tag{1-1}$$

考虑到弹簧自由端的初始位置，可以简单写出其复数形式的解：

$$\begin{cases} x = x_0 e^{j \omega_0 t} \\ \omega^2_0 = \frac{k}{m} \end{cases}\tag{1-2}$$

这就是振子方程的基本形式，可以归纳总结得：如果某函数的二次导数，等于某个常数乘以函数自身，那么在这个函数的通解中，指数项就等于某个常数乘以变量，代表相位的变化。如果这个变量是时间，则常数为频率，代表了相位对时间的变化率；如果变量是空间参数，则常数就是波矢，代表相位对空间的变化率。

如果令$m = 1$，$k = \omega^2_0$，可以得到振子方程及其通解的更一般的形式：

$$\begin{cases} \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm d x^2} + \omega^2_0 = 0 \\ y = y_0 e^{\pm j \omega_0 x} \end{cases} \tag{1-3}$$

接下来是几个典型的，求解电磁参数的场景。

无源电磁场

无源场中，$\vec J = \rho = 0$。因此选用自由空间中的Maxwell方程。以电场为例。

自由空间中的电场可以表示为：

$$\begin{cases} \nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \nabla \times \vec E = 0 \end{cases} \tag{1-4}$$

由零恒等式$\nabla \times (\nabla \vec F) = 0$可以定义电势，进而把三维向量场的问题简化为标量场的问题：

$$\vec E = - \nabla \phi \tag{1-5}$$

又因为在无源情况下，$\rho = 0$，把电势代入后可得：

$$\nabla^2 \phi = 0 \tag{1-6}$$

若令$\phi(x,y,z) = f(x) g(y) h(z)$，那么上述拉普拉斯方程可以化为：

$$\frac{f''(x)}{f(x)} + \frac{g''(y)}{g(y)} +\frac{h''(z)}{h(z)} = k^2_x + k^2_y + k^2_z = 0 \tag{1-7}$$

即可得到三个二阶常系数齐次微分方程：

$$\begin{cases} f''(x) + k^2_x f(x) = 0 \\ g''(y) + k^2_y g(y) = 0 \\ h''(z) + k^2_z h(z) = 0 \end{cases} \tag{1-8}$$

所有可能的解如下表（以$f(x)$为例）：

$k^2_x$	$k_x$	$f(x)$的一般形式	$f(x)$的指数形式[1]
$0$	$0$	$A_0 x + B$	-
$+$	$k$	$A_1 \sin kx + B_1 \cos kx$	$C_1 e^{-j k x} + D_1 e^{j k x}$
$-$	$jk$	$A_1 \sinh kx + B_1 \cosh kx$	$C_1 e^{k x} + D_1 e^{k x}$

平面电磁波

平面电磁波（简称平面波）是场的变化方向和传播方向一致的一类电磁波；这意味着场只有一个分量。
（待完成）

向量分析

坐标系的转换

常用三种坐标系：直角坐标系，柱坐标系，球坐标系。

如果令$x = r \cos \phi, y = r \sin \phi$，则坐标的形式由$(x, y, z)$转换为$(r, \phi, z)$，即得到了柱坐标系。柱坐标系和直角坐标系的转换关系如下：

$$\begin{cases} r^2 = x^2 + y^2 \\ \phi = \arctan \frac{y}{x} \\ z = z \end{cases} \tag{2-1}$$

即取垂直于$xOy$平面的一个半平面$\Gamma$，它的边界是$z$轴，初始位置和$xOz$平面重合，$x > 0$。然后令这个平面绕$z$轴逆时针旋转，那么$+x$轴和$\Gamma$的夹角就是$\phi$；$\Gamma$的远端到$z$轴的距离即为$r$。

相应的， 线元、面元和体积元如下：

$$\begin{cases} \mathrm d \vec l = \vec a_r \mathrm d r + \vec a_\phi r \mathrm d \phi + \vec a_z \mathrm d z \\ \mathrm ds_r = r \mathrm d \phi \mathrm dz \\ \mathrm ds_\phi = \mathrm dr \mathrm dz \\ \mathrm ds_z = r \mathrm dr \mathrm d \phi \\ \mathrm dv = r \mathrm dr \mathrm d \phi \mathrm dz \end{cases} \tag{2-2}$$

和直角坐标中向量分量的转换如下（为方便记作矩阵形式）：

$$\begin{bmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \phi & - \sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_r \\ A_\phi \\ A_z \end{bmatrix} \tag{2-3}$$

对于球坐标系，考虑一个直角坐标中，半径为$R$,球心在坐标原点的球，以及一个顶点在原点，底面表示为$\Gamma: \begin{cases} x^2 + y^2 = cz \\ z > 0\end{cases} , c \neq 0$的圆锥体。任取一点位于球面和圆锥侧面的交线处，这一点的坐标可以表示为$(R,\theta,\phi)$，其中$\theta$是圆锥母线和$z$轴之间的夹角，$\phi$是圆锥母线所在的平面和$xOz$平面之间的夹角：

$$\begin{cases} R^2 = x^2 + y^2 + z^2 \\ \theta = \arctan \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z} \\ \phi = \arctan \frac{y}{x} \end{cases} \tag{2-4}$$

由于球坐标系的复杂性，不得不提球坐标系到直角坐标系的转换：

$$\begin{cases} x = R \sin \theta \cos \phi \\ y = R \sin \theta \sin \phi \\ z = R \cos \theta \end{cases} \tag{2-5}$$

同样有球坐标系下的线元、面元及体积元的表达式：

$$\begin{cases} \mathrm d \vec l = \vec a_R \mathrm dR + \vec a_\theta R \mathrm d \theta + \vec a_\phi R \sin \theta \mathrm d \phi \\ \mathrm ds_R = R^2 \sin \theta \mathrm d \theta \mathrm d \phi \\ \mathrm ds_\theta = R \sin \theta \mathrm dR \mathrm d \phi \\ \mathrm ds_\phi = R \mathrm dR \mathrm d \theta \\ \mathrm dv = R^2 \sin \theta \mathrm dR \mathrm d \theta \mathrm d \phi \end{cases} \tag{2-6}$$

“抽象”的坐标系

在三维空间中，我们可以用任意三个相互正交的单位向量表示任意一个向量。这就是向量空间的概念，此正交向量组称为向量空间的底。

假设用$(u_1, u_2, u_3)$表示向量在某一个向量空间中的坐标，那么在该空间中的微分长度变化可以写作：

$$\mathrm d \vec l = \sum^3_{i = 1} \vec a_{u_i} \mathrm d l_i = \sum^3_{i = 1} \vec a_{u_i} \cdot h_i \mathrm d u_i \tag{2-7}$$

式中$h_i (i = 1,2,3)$称为度量系数，由于坐标$u_i$可能不是长度，因此需要一个函数将其转换为长度，三种坐标系对应的度量系数如下表：

-	笛卡尔直角坐标系	柱坐标系	球坐标系
$h_1$	$1$	$1$	$1$
$h_2$	$1$	$r$	$R$
$h_3$	$1$	$1$	$R \sin \theta$

记忆这个表可以更好地理解各个坐标系的转换（通常是直角系向其他两个坐标系的转换）。其他维数的空间也有类似的规律，详见线性代数相关教材^[2]。

在任意一个向量空间中，旋度的表达式变为：

$$\nabla \times \vec F = \begin{bmatrix} \vec u_1 & \vec u_2 & \vec u_3 \\ \frac{\partial}{\partial u_1} & \frac{\partial}{\partial u_2} & \frac{\partial}{\partial u_3} \\ h_1 F_1 & h_2 F_2 & h_3 F_3 \end{bmatrix} \tag{2-8}$$

向量的基本运算

向量的基本运算包括向量的加减法、向量的数乘、内积和外积。这里只着重提一下内积和外积。

内积

内积的形式如下式：

$$\vec A \cdot \vec B = |A| |B| \cos \theta_{AB} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3\tag{2-9}$$

内积具有这样的特点：

1. 内积是一个标量，不具有方向；
2. 内积小于等于两个向量大小的乘积；
3. 内积可能取负值，这取决于$\theta_{AB}$，即二者之间的夹角的大小；
4. 内积等于一个向量的大小乘上另一个向量在前者投影的大小；
5. 垂直（正交）向量的内积为零。

结合以上特点，可得：

$$|A|^2 = \vec A \cdot \vec A \tag{2-10}$$

内积还满足乘法的交换律和结合律，但是不满足结合律：

$$\begin{cases} \vec A \cdot \vec B = \vec B \cdot \vec A \\ \vec A \cdot (\vec B + \vec C) = \vec A \cdot \vec B + \vec A \cdot \vec C \end{cases} \tag{2-11}$$

外积

外积又称为向量积，因为这个运算的结果还是向量，为了和内积区别，又称为外积。外积记作：

$$\vec A \times \vec B = \vec a_n |\vec A| | \vec B| \sin \theta_{AB} \tag{2-12}$$

上式中，单位向量$\vec a_n$表示$\vec A \times \vec B$的方向，它遵循右手定则：

• 伸开右手，四指指向$\vec A$的方向；
• 而后四指向$\vec B$的方向弯曲；
• 此时大拇指的方向就是$\vec a_n$的方向。

外积的大小等于以$\vec A$和$\vec B$为邻边的平行四边形的面积，这很容易推导出来。如果交换两个向量的相乘顺序，那么结果的大小不变，方向相反；叉积也满足分配律，但不满足分配律：

$$\begin{cases} \vec A \times \vec B = - \vec B \times \vec A \\ \vec A \times (\vec B + \vec C) = \vec A \times \vec B + \vec A \times \vec C \end{cases} \tag{2-13}$$

三个向量的乘积

两个重要的向量恒等式，应当牢记：

$$\begin{cases} \vec A \cdot (\vec B \times \vec C) = \vec B \cdot (\vec C \times \vec A) = \vec C \cdot (\vec A \times \vec B) \\ \vec A \times (\vec B \times \vec C) = \vec B \cdot (\vec A \cdot \vec C) - \vec C \cdot (\vec A \cdot \vec B) \end{cases} \tag{2-14}$$

Reference

1. 如何学好电磁场这门课？ - WaveView的回答 - 知乎

2. Field and Wave Electromagnetics, 2nd Edition, David K. Cheng 清华版译本，何业军、桂启良译

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1. 借助欧拉方程$e^{j\omega} = \cos \omega + j \sin \omega$即可转换成此形式。 ↩︎

2. 此处参考《工程数学 线性代数》（同济大学 第六版） ↩︎